メガパック付属のKatrainを所持している状態で単独のKatrainをダウンロードして実行すると、デフォルトの設定はメガパック付属のKatrainの設定に自動的に変更されて起動します。
これで何故エラーになるかというと、上記の3項目の場所を指定するのに「相対パス」が使用されているからです。相対パスとは、今作業している階層を基準にして、指定したファイルがどこにあるかを記述したものです。
例えば、メガパック付属のKatrainではエンジンの場所を指定するのに「../lizzie/katago.exe」という相対パスが使われています。
これは、メガパック付属のKatrainでは通用しますが、離れた場所にある単独のKatrainでは通用しません。なのでエラーになります。
では単独のKatrainはどう設定すればいいかというと、変更される前のデフォルトのものを使用すればいいのです。
デフォルトのエンジン指定は「空欄」です。空欄は付属のkatago.exeを指し示すというのが仕様です。
単独のKatrainにはkatagoフォルダが付属されているので、これでうまくいきます
しかし、この「空欄」を適用した状態でメガパック付属のKatrainを実行すると、自動的に「空欄」が適用されますが、
メガパック付属のKatrainにはkatagoフォルダがないので今度はこっちでエラーになります。
これをやっているとイタチごっこになります（笑）

次で最後です。

これを防ぐには「絶対パス」を使うか、またはメガパック付属のKatrainにkatagoフォルダを置いてエンジン指定を「空欄」にするか、です。
絶対パスとは、階層の頂点から特定のファイルまでの経路を階層ごとに全て記載したもので、
「../lizzie/katago.exe」が相対パスなら、「C:\baduk\lizzie\katago.exe」が絶対パスです。
前者はメガパック付属のKatrainでのみ有効ですが、後者はどのKatrainでも有効です。

lizzieはKatrainと違って、完全に別個のものとして設定が適用されます。
メガパックのlizzieフォルダとLizzie-v0.7.3フォルダに同一のlizzie.jarがある場合、片方のエンジン登録を変更しても、もう片方には影響しません。
これが当たり前という感覚だったので、Katrainの仕組みが分かるまではかなり混乱しました。

この「同一の実行ファイルが複数ある場合は常に同じ設定が適用される」という仕様は、v1.1から有効になったようです。
Sanderlandさんの「単一実行ディストリビューションを可能にしました」の意味がようやく理解できました（多分）。
説明欄をみたらそれらしきことが書いてありました。

一台のPCの中に同一の実行ファイルが複数ある場合、それぞれが常に同じルール（設定）で動いたほうが都合がいいだろうということですね。
「絶対パス」や「相対パス」など知りませんでしたが、今回の問題を解決する上で理解できてよかったです

謎が深まりました。
新しくKaTrainをCドライブのダウンロードフォルダにダウンロードして、そこで展開したKaTrain.zipのKaTrain.exeを実行したら「../lizzie/katago.exe」となりました。
Dドライブにダウンロードしていた場合は、そうならなかったのですが、一度「../lizzie/katago.exe」となると、新たにDドライブにダウンロードした場合でも「../lizzie/katago.exe」となりました。
一度でもCドライブにダウンロードして実行するとこうなるようです。
これは絶対パスにしても同じです。KaTrainを実行してF8から設定をすると、絶対パスでも相対パスでも同じで、そこで設定したパスがBadukでも適用されます。
念のためconfig.jsonを書き換えてみましたが、反映されません。
つまり、メガパックのインストールされている状態で、一度でもCドライブでKaTrainを実行すると、パスの設定を変えるたびにすべてのKaTrainのパス設定が変更されます。今のところ解決策が分かりません。
これはある意味不便ですね。

なお、KaTrainのパス設定を新たにすると、この質問掲示板へのアクセスが弾かれました。サーバーのWAFにひっかかるようで、私の使っているレンタルサーバーは個別アクセスのWAF設定ができないので、ＰＣを再起動しないとここに書き込めません（他の掲示板はＯＫ）。なのでこの現象が一番困ります。

この質問掲示板へのアクセスが弾かれる現象は、特定のユーザー（私）のアクセスは可能に設定しましたが、皆さんの場合は可能になったかどうか分かりません。書き込めない場合はＰＣを再起動するしかなさそうです。

引き続き検証して頂き有難うございます。

congig.jasonは、-helpのようなもので、内容を変更しても実行ファイルには影響しないみたいですね。
GitHubのリリースページの説明欄に、
「設定とKataGoチューニングファイルはローカルに保存されます（ユーザーディレクトリ/.katrain）。これにより、単一のexeファイルの配布も可能になります。」
と書かれています。
C:\Users\hiro7\.katrainを見てみると、添付図のようなものが保存されていました。これがおそらく設定を共有させるためのものなのだと思います。
Katrainのパス設定が原因かどうかは分かりませんが、文字数の多い投稿をしようとしたらエラーになったので、前回3つに分けて投稿しました。
エラー内容を正確に覚えていませんが、文字数がオーバーしています、というエラーではなかったです。

なるほど
ＰＣのどこにあるKaTrainでも、起動するとユーザーディレクトリ下の「.katrain」フォルダのconfig.jsonに設定が保存され、その後はどのKaTrainを実行しても、設定が同じということですか。
最初に私が経験したメガパックも単独KaTrainもそれぞれの設定で起動できたというのは勘違いのようです。
念のためメガパックをアンインストールして、すべて削除してからインストールし、DドライブのKaTrainを実行するとユーザーディレクトリ下に「.katrain」フォルダが作られます。この状態でメガパックのKaTrainを実行するとKaTrainのKataGoはパスが違うので動きません。
PC上に複数のKaTrain.exeがあっても、設定パスはすべて同じということになります。これはメガパックとは別に単独でKaTrainを実行したい場合は不便なんてものではないですね。

この掲示板への書き込みをhope366さんができたと言うことは、WAFの個別設定が有効になっているようで安心しました。

一度も設定を変更しなければ、ユーザーディレクトリ下の「.katrain」フォルダのconfig.jsonは作成されないので、それぞれが異なる設定でも動作するということですね。
これを検証するには同じバージョンで設定の異なる2つ以上のKatrainを用意する必要があります。
次回新しいKatrainがリリースされて、メガパックが更新された時に試してみたいと思います。

設定の変更では無く、KaTrainを起動するとKataGoのチューニングが行われるので「C:Uses\ユーザー名\.katrain\config.json」が作成されます。
ですから、オリジナルのKaTrainを起動しても、メガパックのKaTrainを起動しても、同じ設定を読み込むので、どちらかのKataGoは動きません。
このため、オリジナルの設定を"config-org.json"という名前にし、メガパックの設定を"config-baduk.json"という名前にして、どちらかを使うたび、「C:Uses\ユーザー名\.katrain」フォルダで"config.json"と名前変更して使うのが、一番簡単と思われます。

私はSabakiの設定もそのようにしています。Sabakiの設定は「C:Uses\ユーザー名\Appdata\Roaming」にある"Sabaki"というフォルダにあります。Sabaki単独で使用しているものを"Sabaki-org"というフォルダ名にして同じ場所に置き、メガパックのSabakiは"Sabaki-baduk"というフォルダ名にして、どちらかを使うときは"Sabaki"と名前変更して使っています。

なるほど、つまりlizzieはそれぞれのフォルダにあるconfig.txtに従いますが、KatrainやSabakiは特定の場所にある単一の設定ファイルで全てをまかなっているという感じですね。
Katrainであれば「C:Uses\ユーザー名\.katrain\config.json」、Sabakiであれば「C:\Users\ユーザー名\AppData\Roaming\Sabaki\settings.jason」ですね。
早速、「config-org.jason」と「config-baduk.jason」を作成してC:Uses\ユーザー名\.katrainに置きました。
任意のKatrain.exeを起動するときに、対応する「config-##.jason」を「config.jason」とファイル名を変更したら、オリジナルのKatrainもメガパックのKatrainも別々の設定で正常に動きました。

メガパックには2種類のSabakiがありますが、一方の設定を変更するともう一方を起動した時に変更内容が反映されていて「ん？」と思ったことがありました。
バージョンが違っても一元管理みたいな感じなんですね。
Katrainも別バージョンを持ってきて試しましたが、異なるバージョン間でも「C:Uses\ユーザー名\.katrain\config.json」で一元管理ですね。