Sabaki v0.52.2はこちらからダウンロードできます。
https://github.com/SabakiHQ/Sabaki/releases
Sabakiの使い方はこちらを参考にしてください。
https://www.h-eba.com/Lizzie/sabaki.html

私は普段0.43.3を使用していますが、「Check for updates at startup」にチェックを入れたら、起動時にアップデートを催促するダイアログが出てきました。
「Download Update」をクリックしたら、ブラウザが自動で立ち上がり、0.52.2が自動的にダウンロードされました。
ダウンロードされた「sabaki-v0.52.2-win-x64-portable.exe」をダブルクリックしたらウィルス対策ソフトによる警告が出ましたが、無視して実行したら0.52.2が立ち上がりました。

0.52.0のダイアログには「アップデートとダウンロード」と日本語で表示されているのだと思いますが、これをクリックしてもダウンロードが開始されない場合は、直接リリースページからダウンロードすればよいと思います。

hope366さん、Ebaさんご回答ありがとうございます。
いわれた通り、リリースページ？（https://github.com/SabakiHQ/Sabaki/releases）からダウンロードしてみようと思います。